Risolvere problemi e (è!) la matematica
Un’occasione per ragionare, intuire, inventare e creare
CLASSE DINAMICA
La matematica è una materia che permette di esercitare la creatività, al di là di ogni pregiudizio.
Basta non limitarsi a proporre esercizi, ma sfidare gli alunni con veri e propri problemi, fin dalla Scuola primaria.
di Maita Bonazzi
Secondo le Indicazioni Nazionali “Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola…”.
Cosa intendere dunque per problema? E quale la differenza tra problema ed esercizio? Soprattutto, quali i problemi che possiamo considerare autentici e significativi nell’accezione utilizzata dalle Indicazioni?
Duncker (1935) affermava che “Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla”. In questo modo metteva in evidenza come la dimensione problematica sia strettamente connessa al soggetto che la deve affrontare, alla sua motivazione, oltre alle competenze, conoscenze e abilità, quindi agli strumenti, che ha chi si trova nelle condizioni di doverne affrontare uno. Diventa quindi evidente come una medesima attività o situazione possa configurarsi come problema per uno studente e come esercizio per un altro; oppure, come una stessa attività o situazione possa configurarsi come problema, se presentata prima della spiegazione dell’insegnante, oppure come esercizio, se proposta dopo la suddetta spiegazione.
Per meglio comprendere la differenza tra problema ed esercizio, è utile la schematizzazione ripresa da Arigoni et al. (1992), citata da Carla Alberti1, che rende evidenti i diversi processi mentali richiesti agli studenti quando vengono posti davanti a un problema o a un esercizio:
PROBLEMA
Le conoscenze dell’allievo sono necessarie ma non sufficienti per trovare la soluzione. All’allievo si richiede soprattutto di:
• ragionare
• intuire
• inventare
• creare
• strutturare o ristrutturare
ESERCIZIO
Le conoscenze dell’allievo sono necessarie e sufficienti per trovare la soluzione. All’allievo si richiede soprattutto di:
• ricordare
• riconoscere
• riprodurre
• applicare tecniche
Problema ed esercizio sono quindi sostanzialmente diversi, e se è vero che “nell’insegnamento della matematica è auspicabile un equilibrio tra i due tipi di attività, in quanto ciascuno di essi contribuisce in modo specifico alla realizzazione dell’apprendimento matematico”2, è fondamentale la consapevolezza del docente circa la necessità di proporre periodicamente ai propri studenti situazioni autentiche e matematicamente significative, che possono scostarsi dal cosiddetto problema scolastico standard che tradizionalmente si trova sui libri di testo e che, nell’accezione data dalle Indicazioni Nazionali e dalla ricerca in didattica della matematica, è generalmente più vicino a un esercizio, che a un problema vero e proprio.
Quali dunque i possibili problemi da proporre? Tutti quelli che portano i bambini a ragionare, intuire, inventare, creare, strutturare o ristrutturare le proprie conoscenze. Il “formato” dei problemi può essere – ed è auspicabile che sia – diverso3.
Esercizio 1
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Esercizio 3
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Il miglior contesto entro il quale proporli è invece il laboratorio4, da intendersi soprattutto come “momento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive”5. È quindi un laboratorio che si realizza in primo luogo nel rapporto e nel lavoro con i pari, poiché è coi pari che ogni bambino confronta idee e ragionamenti, li sperimenta e si sperimenta, seguendo tempi e ritmi che sono sia del gruppo, sia personali. In secondo luogo, è un contesto che si configura come inclusivo, se attuato con la convinzione di valorizzare il processo, prima che il prodotto. Al suo interno, infatti, non si persegue il fine di trovare a tutti i costi la risposta corretta, quanto piuttosto l’indagare e il ragionare su fatti e oggetti matematici, grazie ad una attenta regia del docente di classe, che non fornisce regole, definizioni, risposte o semplificazioni, ma piuttosto situazioni problematiche stimolanti, che invitino i bambini a mettersi in gioco all’interno della loro zona di sviluppo prossimale6, provando e sperimentando, parlando e condividendo risorse, pensieri e strategie risolutive.
Pensare che la matematica richieda prioritariamente risposte corrette date magari in breve tempo è un’idea che, oltre ad essere incoerente con quanto indicato dalle Indicazioni Nazionali e poco inclusiva, è – in relazione alla matematica – sbagliata dal punto di vista epistemologico: in matematica, infatti, come ha recentemente puntualizzato Rosetta Zan, una risposta corretta non sostenuta da un ragionamento corretto a sua volta non ha valore, mentre un ragionamento può risultare significativo pur non concludendosi con una risposta corretta. È quindi insita nel fare la matematica delle Indicazioni Nazionali la convinzione che la risoluzione di un problema possa (e debba) richiedere tempi distesi7. Perché “La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico”8. “Lasciamo quindi agli studenti il compito di risolvere veri problemi, anche se le teorie necessarie non sono state tutte poste in evidenza, anzi proprio per far sì che se le debbano inventare loro. Che si sbaglino, che si arrabbino, che si inventino cose assurde, non importa, ma che sia invenzione, creazione, farina del loro sacco, evidenza delle loro attese”9.
Note
[1] Colombo Bozzolo C., Costa A., Alberti C., Nel mondo della matematica, Trento, Erickson, 2005, p. 22
[2] Ivi, p. 21
[3] A seguire, alcuni possibili esempi tratti da AA.VV., On-Accendi la mente!, classi 4^ e 5^, Milano, Pearson, 2019
Altri si trovano facilmente in rete; ad esempio, negli archivi delle Competizioni matematiche nazionali e internazionali (il Rally Matematico Transalpino, il Kangaroo, i Giochi matematici della Bocconi di Milano…) o delle prove INVALSI
[4] Diversi spunti per approfondire l’idea di laboratorio in matematica si possono trovare sul sito dell’Unione Matematica Italiana (U.M.I.)
[5] MIUR, Indicazioni Nazionali per il primo ciclo di istruzione
[6] Vygotskij L.S., Il processo cognitivo, Torino, Boringhieri, 1931-1980
[7] Del resto, per alcuni problemi particolarmente complessi anche i matematici hanno impiegato anni a trovare una soluzione e per altri… stanno ancora cercandola!
[8] MIUR, Indicazioni Nazionali per il primo ciclo di istruzione
[9] D’Amore B., Sbaragli S., Creatività in matematica: binomio indissolubile, in: Scuola Ticinese, volume 43, 2014, p. 42
Bibliografia
- Colombo Bozzolo C., Costa A., Alberti C., Nel mondo della matematica, vol. 1, Trento, Erickson, 2005
- D’Amore B., Il problema di matematica nella pratica didattica, Modena, Digital Docet, 2014
- D’Amore B., Marazzani I., Laboratorio di matematica nella scuola primaria. Attività per creare competenze, Bologna, Pitagora, 2005
- D’Amore B., Marazzani I., Problemi di matematica nella scuola primaria, Bologna, Pitagora
- D’Amore B., Sbaragli S., Creatività in matematica: binomio indissolubile, in: Scuola Ticinese, volume 43, 2014, pp. 39-42
- Di Martino P., Zan R., Insegnare e apprendere matematica con le Indicazioni Nazionali, Milano, Giunti Scuola, 2017
- Zan R., I problemi di matematica. Difficoltà di comprensione e formulazione del testo, Roma, Carocci Faber, 2016
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