Le Frazioni, Lezioni 3 – 8

Percorso collegato all’Unità A7 del volume ETABETA. La matematica per tutti, di Gianfranco Bo.

ETABETA. Aritmetica 1° anno

Proseguiamo il percorso didattico relativo all’Unità A7 Le frazioni, nel quale proponiamo idee per una possibile organizzazione della didattica a distanza.
Il testo di riferimento è disponibile per gli studenti sia sotto forma di libro digitale statico (READER+), sia sotto forma di libro liquido e costituisce una solida base dalla quale partire per condividere sia le pagine da studiare, sia le risorse digitali correlate.
Per semplificare il lavoro, i link qui forniti consentono l’attivazione diretta di tutti i materiali, che sono reperibili anche accedendo a My Pearson Place con il codice associato al volume.

Per cominciare: preparare i materiali

Da questo link è possibile scaricare il PDF delle lezioni che presentiamo. A partire dal pdf, si possono catturare singole parti per inserirle in una presentazione in PPT.
Ricordiamo che è possibile registrare la propria voce sulle slide in PPT (scarica il PDF per vedere come fare) ed esportare un video da condividere con gli studenti nella modalità concordata con la scuola per erogare le lezioni a distanza.

Consigliamo di prevedere dei momenti di “lezione frontale” in formato video (in diretta o registrati), intervallati da momenti esercitativi o di confronto, come proposto di seguito per le lezioni considerate.

Lezione 3 La frazione è anche un numero

Nelle lezioni precedenti gli studenti hanno imparato che una frazione può indicare una parte di un segmento. Ora si tratta di riprendere questa conoscenza e capire che, partendo dalla rappresentazione della frazione sul segmento unità, possiamo riportare qualunque frazione sulla retta dei numeri, trovando la sua giusta collocazione rispetto agli altri numeri che già conosciamo.
La lezione può iniziare con le due domande dell’Esplora di pagina A320 del testo.
Per fornire la consegna si può registrare e condividere con gli studenti un breve audio in cui si chiede loro di leggere e rispondere alle seguenti domande:

  1. Quale frazione del segmento AB rappresenta il tratto AC?
    [Qui chiediamo di operare sul segmento unità con la frazione, dividendo in 4 parti e prendendone 3. Risposta: 3/4].
  2. Quale numero corrisponde al punto C?
    [Qui chiediamo di misurare il segmento AC con il righello sul libro, dove è rappresentato in scala, e scoprire che si ottiene lo stesso valore che si ha dividendo 3 per 4. Risposta: 0,75].

Gli studenti saranno invitati a completare le domande sul libro e poi a riportare le loro risposte su una chat di classe.
Se lo si ritiene opportuno, per chiarire agli studenti come rispondere alle domande si può assegnare in anticipo il video tutorial dell'Esercizio guida 1, proponendolo come preparazione alla comprensione del concetto anziché come sua applicazione.
La risposta alla seconda delle due domande permette di introdurre il Concetto chiave della lezione e cioè che ogni frazione equivale al numero che si ottiene come risultato dell’operazione aritmetica di divisione tra numeratore e denominatore. Ci si può soffermare a questo punto sul significato delle espressioni formali con le variabili, a/b e b, cogliendo l'occasione per iniziare a introdurre la notazione algebrica.

Come immediata applicazione di quanto visto si può proporre agli studenti l'Esercizio guida 2 di pagina A320 in versione video tutorial. L'esercizio mostra in modo immediato come calcolare il numero a cui equivale una frazione dividendo il numeratore per il denominatore.

Per consolidare le conoscenze acquisite, infine, si possono assegnare per il lavoro individuale gli esercizi della pagina A321.
Per rinforzare i concetti appresi, sono disponibili esercizi ulteriori alle pp. A343-A345.

Lezione 4 Frazioni proprie e improprie

Argomento di questa lezione è la classificazione delle frazioni in proprie, improprie e apparenti.
Per introdurla si può proporre agli studenti l'attività Esplora di pagina A322 in cui si utilizza la rappresentazione a torta per visualizzare due frazioni, di cui una impropria e una apparente. Nella chat di classe si può scrivere un breve testo che introduca l'argomento e che contenga le seguenti domande di avvio, utili per capire il senso dell'attività:

  1. Nella frazione 5/4 come è il numeratore rispetto al denominatore?
    [Risposta: maggiore. Per scoprire che in una frazione impropria il numeratore è maggiore del denominatore.]
  2. Nella frazione 12/4 come è il numeratore rispetto al denominatore?
    [Risposta: multiplo del denominatore. Per scoprire che in una frazione apparente il numeratore è multiplo del denominatore.]
    I ragazzi saranno invitati a completare l'attività sul libro e, se possibile, a fotografare la pagina e inviarla sulla chat di classe.

Il Concetto chiave che segue enuncia e formalizza quanto scoperto nell’Esplora.
Per verificare l'acquisizione del concetto chiave si suggerisce di proporre gli esercizi di pagina A323, che gli studenti possono svolgere autonomamente. Gli esercizi si avvalgono dei diversi modelli (torta/striscia/figura) di rappresentazione delle frazioni e della retta dei numeri: gli esercizi 1-5 aiutano la visualizzazione, gli esercizi 6-9 propongono di valutare numeratori e denominatori, anche con un po’ di pre-algebra (es. 7).

Una volta acquisiti i concetti, un modo divertente di metterli alla prova è il gioco da realizzare con Scratch seguendo le indicazioni del Laboratorio del coding Proprie improprie o apparenti? a pagina L76-L77 del Laboratorio delle competenze. La programmazione permette di realizzare una "macchina" capace di classificare le frazioni.
Nel caso si preferisse proporre il gioco sulle frazioni senza dover affrontare lo scoglio della programmazione, è disponibile il file.sb3 dell'attività già pronto da far girare nel programma Scratch.

L'insegnante, se lo ritiene opportuno, può strutturare un'attività di autoverifica basata su questo gioco. Può chiedere agli studenti di proporre ciascuno una frazione e comporre così un elenco unico di frazioni da sottoporre alla classe; ogni ragazzo può riportare l'elenco in una tabella Excel e completarla con la classificazione delle frazioni: quella ottenuta sulla base delle proprie conoscenze in una colonna e quella costruita con Scratch nella colonna accanto. In questo modo ognuno potrebbe verificare il proprio apprendimento facendosi correggere la verifica da Scratch!

Eventuali esercizi di rinforzo dei concetti della lezione sono disponibili alle pagine A345-A348. In particolare, gli esercizi 92-97 alle pagine A347-A348 permettono di lavorare sulla rappresentazione delle frazioni improprie sulla retta dei numeri. Nell’esercizio 98 a p. A348, la frazione 0/10 può essere intesa sia come propria sia come apparente.

Lezione 5 Frazioni equivalenti

Nella lezione 5 si affronta il concetto di equivalenza tra frazioni e quello correlato di proprietà invariantiva della divisione.
L'attività di Esplora proposta in apertura consente di comprendere a occhio il concetto di equivalenza. Si può far eseguire autonomamente sul libro o, in alternativa, si può suggerire ai ragazzi di creare dei modelli di cartoncino colorato, ossia dei "regoli" di carta con cui verificare l'equivalenza delle configurazioni proposte sul libro e, volendo, delle altre configurazioni che si ottengono suddividendo la striscia in frazioni più piccole. Gli studenti potrebbero poi condividere le loro creazioni fotografandole e postando le foto sulla chat di classe.

L'Esercizio guida 1 permette di consolidare il concetto di frazioni equivalenti con un modello diverso da quello dell'Esplora, cioè con il modello a torta. Dopo aver osservato l'esercizio guida, i ragazzi si possono cimentare da soli con gli esercizi 2 e 3 di pagina A326, da completare sul libro.

La seconda parte della lezione consente di capire come si ottengono frazioni equivalenti da una frazione data: basta moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero per "espandere" la frazione, poi dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero per "semplificarla". Per l'immediata applicazione di questi concetti si possono assegnare a casa gli esercizi di p. A326 e, un po' più complessi, gli esercizi di p. A327.

Se lo si ritiene utile, si può infine proporre sulla chat di classe un esercizio di gruppo, in cui ogni studente è invitato a fornire una frazione semplificata e una espansa di una stessa frazione proposta dall'insegnante; per esempio, di 12/36. Confrontando i contributi dei compagni si potrà osservare che si possono creare infinite frazioni espanse, mentre solo un numero limitato di frazioni semplificate.
Eventuali esercizi di rinforzo dei concetti sono disponibili alle pagine A349-A351.

Lezione 6 Ridurre una frazione ai minimi termini

La lezione 6 è un'immediata applicazione della lezione 5: il concetto da comprendere è che la frazione ridotta ai minimi termini è il rappresentante principale della classe di tutte le frazioni a essa equivalenti.
L'immediatezza del concetto consente di assegnare la preparazione della lezione in modalità capovolta: tutti gli studenti leggono la lezione sul testo, predisponendosi a capire la spiegazione di un gruppetto di compagni, incaricati di illustrare il concetto chiave in una videolezione condotta da loro, sincrona o registrata, e di fornire due o tre esempi pensati sulla falsariga dell'Esplora.

Al termine del contributo dei ragazzi, l'insegnante può riprendere i nodi della lezione ribadendo il concetto chiave e stimolando il ragionamento con una domanda sulla chat di classe:

Perché è utile scegliere come rappresentante la frazione con i termini più piccoli?

L'idea che dovrebbe emergere è che la frazione ridotta ai minimi termini è unica e più facile da maneggiare nei calcoli.
Gli esercizi 1-2-3-4 a pagina A329 permettono di impratichirsi sulla tecnica, mentre gli interessanti esercizi 7-10-11 su frazioni del giorno e del kilogrammo riportano a un contesto reale.
Per un supporto ulteriore sulla tecnica di riduzione si può proporre l'Esercizio guida 1 in formato video tutorial, che illustra il metodo delle riduzioni successive, e l'Esercizio guida 2, che spiega come semplificare una frazione calcolando il MCD.
Gli esercizi di rinforzo si trovano alle pagine A352-A355.

Lezione 7 Il minimo comune denominatore

L'argomento è piuttosto tecnico e merita, possibilmente, una sessione video con condivisione dello schermo, per mostrare bene procedure ed esempi come se si avesse la lavagna a disposizione.
Si può iniziare come sempre illustrando l'Esplora in apertura, in cui sono mostrate due serie distinte di frazioni equivalenti. L'aspetto da far notare è che in entrambe le serie sono presenti frazioni con lo stesso denominatore. Le frazioni con lo stesso denominatore si possono sommare, sottrarre e confrontare facilmente, ed è per questo che è utile imparare a ridurre frazioni diverse allo stesso denominatore.
Il Concetto chiave formalizza la procedura.
Il concetto di denominatore comune introdotto in questa lezione sarà il fondamento di tutta l’attività di calcolo proposta nell’unità successiva, quindi è bene verificare che gli studenti non si limitino a imparare la procedura, ma comprendano a fondo il concetto che essa sottende. Per l'acquisizione della procedura è utile assegnare gli esercizi 1-5 di pagina A331; per una comprensione ragionata del concetto, gli esercizi 6-9.

Gli ulteriori esercizi sull'argomento della lezione si trovano alle pagine A356-A357.

Se non è stata già sfruttata in un altro momento, si potrebbe proporre a questo punto l'attività di classe capovolta che si trova nella Guida docente a pagina 74, MCD e mcm in un colpo solo. Il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo, infatti, sono entrambi strumenti essenziali per il calcolo con le frazioni, potrebbe essere utile sfruttare l'occasione per ripassare come sono definiti e come si possono calcolare, anche con un metodo alternativo, come illustrato in questa attività.

Lezione 8 Confronto di frazioni

Ora che gli studenti sanno ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore, sono pronti per confrontarle, cioè per affrontare l'argomento di questa ottava lezione.
Per introdurlo si può proporre una domanda sulla chat di gruppo e sollecitare gli studenti a scrivere ognuno la propria risposta:

Confrontate le due frazioni 5/8 e 3/4: come fareste a stabilire qual è la maggiore e quale la minore?

Le due frazioni sono quelle considerate nell'attività di Esplora della lezione, per cui l'insegnante, dopo aver raccolto sulla chat le risposte degli studenti, può invitarli a osservare con attenzione l'Esplora di p. A332.
Potrà far notare che in questo caso il confronto è grafico, ma che serve un metodo aritmetico da applicare nel calcolo. Il metodo è appunto quello espresso nel Concetto chiave.

Per assicurare la comprensione della procedura si possono proporre l’Esercizio guida 1 e l’Esercizio guida 2 in formato video tutorial. A seguire, gli esercizi della lezione a pagina A333 permettono di cimentarsi su confronto di frazioni con denominatore uguale o diverso (es. 1), sul confronto di frazioni proprie e improprie (es. 2) e sull'applicazione del metodo generale (es. 3). Per lo svolgimento degli esercizi da 8 a 12, agli studenti in difficoltà si può mettere a disposizione la calcolatrice, avendo cura di spiegare come utilizzarla per confrontare due frazioni.

Per proporre una rielaborazione dei concetti in chiave giocosa è disponibile l'attività di coding con Scratch Confrontiamo le frazioni illustrata a pagina L78 del Laboratorio delle competenze. Vi si impara a realizzare un programma per confrontare le frazioni. Anche per questa attività è disponibile il file.sb3 del programma già realizzato, che consente di esercitarsi sul concetto matematico senza dover affrontare la pur semplice programmazione in Scratch.

E per finire...

Per uno sguardo storico sull'argomento, si può infine proporre la visione del video 67 divisioni e frazioni antico Egitto, che mostra come già nell'Antico Egitto si utilizzassero le frazioni per risolvere problemi quotidiani. La parte finale del video va oltre gli scopi di questo capitolo, ma l’esempio iniziale è particolarmente interessante.

Per l’esercitazione e la verifica in autonomia

Al termine di ciascuna lezione o di un gruppo di lezioni si possono orientare gli studenti all’utilizzo di una serie di strumenti multimediali, assegnabili di volta in volta al momento opportuno e accessibili dall’ITE (libro digitale).
Per l’esercitazione degli studenti è possibile assegnare i Test interattivi della sezione Allenamento Invalsi.

Per la verifica si può assegnare il Test interattivo di fine unità.

È possibile anche organizzare un percorso più sintetico e facilitato riferendosi ai contenuti del fascicolo Imparafacile (con l’audio di tutte le lezioni). È disponibile la trascrizione in 6 lingue.

La verifica semplificata ad alta leggibilità è disponibile nella Guida docente.

E inoltre in My Pearson Place…

Invitiamo a esplorare tutti i materiali associati all’opera in adozione dalla pagina di ingresso al prodotto in My Pearson Place.

Da qui è possibile accedere, in particolare:
• all’intera Guida per il docente in formato PDF;
• a un ricco Crea Verifiche, con il quale comporre verifiche personalizzate, selezionando gli esercizi per argomento e per livello di difficoltà, ed esportando i file in formato .docx;
• al Didastore, dove, ad esempio, nell’Area docente sono disponibili le stesse verifiche fornite in Guida in formato editabile (docx) e nella sezione Palestra sono disponibili ulteriori batterie di test, tutti con autocorrezione.

La lezione è offerta dalla redazione di Pearson per le Scienze, il nuovo marchio editoriale per l'area scientifica della Scuola secondaria, nell'ambito del progetto Pearson Kilometro Zero, imparare e formarsi a distanza.

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