Ingrandimenti, riduzioni in scala e similitudine, Lezioni 4 – 8

Percorso collegato all’Unità G10 del volume ETABETA La matematica per tutti, di Gianfranco Bo.

ETABETA Geometria 2° anno

Proponiamo un esempio di percorso didattico relativo all’Unità G10 Ingrandimenti, riduzioni in scala e similitudine mediante il quale è possibile organizzare la didattica a distanza.
Il testo di riferimento è disponibile per gli studenti sia sotto forma di libro digitale statico (READER+), sia sotto forma di libro liquido e costituisce una solida base dalla quale partire per condividere sia le pagine da studiare, sia le risorse digitali correlate.
Per semplificare il lavoro, i link qui forniti consentono l’attivazione diretta di tutti i materiali, che sono reperibili anche accedendo a My Pearson Place con il codice associato al volume.

Per cominciare: preparare i materiali

Da questo link è possibile scaricare il PDF delle lezioni. A partire del pdf, si possono catturare singole parti per inserirle in una presentazione in PPT.
Ricordiamo che è possibile registrare la propria voce sulle slide in PPT (scarica il PDF per vedere come fare) ed esportare un video da condividere con gli studenti nella modalità concordata con la scuola per erogare le lezioni a distanza.
Consigliamo di prevedere dei momenti di “lezione frontale” in formato video (in diretta o registrati), intervallati da momenti esercitativi o di confronto, come proposto di seguito per le lezioni considerate.

Unità G10. Ingrandimenti, riduzioni in scala e similitudine, Lezioni 4 – 8

Lezione 4 Le figure simili

In questa lezione si definisce la similitudine tra poligoni. Per far cogliere con immediatezza quali sono le caratteristiche di due figure simili si può proporre l'attività Esplora Trapezi simili: i ragazzi devono verificare con un righello, direttamente sul libro, che nei due trapezi rappresentati coppie diverse di lati corrispondenti mantengono sempre lo stesso rapporto di misura.
Il Concetto chiave sintetizza le due caratteristiche dei poligoni simili.

La lezione può proseguire con lo studio dell'esercizio guida 1, disponibile anche in formato VideoTutorial; l'esercizio 6 a p. G158 è una replica dell'esercizio guida e si può assegnare per metterne alla prova la comprensione.
L'esercizio guida 2 è cruciale per la risoluzione dei problemi su questo argomento: se ne può assegnare lo studio autonomo e, subito dopo, la sua applicazione agli esercizi simili 5 e 10 alle pagine G158-G159.
L'esercizio 13 Problema aperto si presta a un momento di condivisione sulla chat di classe: ognuno può sottoporre ai compagni la foto del proprio problema, scritto e risolto sul quaderno. Commenti e verifiche incrociate possono animare un dibattito sulla similitudine.
Ulteriori esercizi di rinforzo sono disponibili alle pp. G186-G191.

Se lo si ritiene opportuno, si può approfondire la trattazione proponendo l’attività con GeoGebra Figure simili, descritta a p. L40 del Laboratorio delle competenze 2. L'attività illustra la procedura di costruzione di figure simili mediante omotetia ed è disponibile anche in formato VideoTutorial.

Sull'argomento della lezione è disponibile anche un'attività del Laboratorio del Coding, La similitudine dei poligoni: vi si spiega come realizzare un programma di Scratch in cui si valutano le misure dei lati per calcolare il rapporto di similitudine e riconoscere rettangoli simili. Se si desidera che i ragazzi accedano direttamente all'attività sulla similitudine senza dover affrontare lo scoglio della programmazione, si può fornire loro il file.sb3 del programma già compilato.

Lezione 5 Criteri di similitudine dei triangoli

Con la lezione 5 si passa dalla similitudine tra poligoni in generale ai criteri di similitudine specifici per i triangoli. È bene sottolineare che anche i triangoli sono poligoni e per essi valgono le stesse proprietà dei poligoni in generale, ma che i criteri di similitudine sono delle "scorciatoie" per verificare la similitudine sfruttando le proprietà specifiche dei triangoli.
Il suggerimento per presentare i tre criteri è di realizzare tre slide, una per criterio di similitudine, con il concetto chiave e l'esercizio guida di applicazione accompagnati da una spiegazione audio.
L’esercizio guida 4, disponibile anche in versione VideoTutorial, è un'interessante applicazione del teorema di Talete (che tuttavia non viene formalizzato per non appesantire la trattazione). Altri esercizi riconducibili al teorema di Talete sono gli esercizi 9-10-14 a pag. G162.
Alle pp. G162-G163 sono disponibili altri esercizi che fanno riferimento agli esercizi guida della lezione.
Ulteriori esercizi di rinforzo sono disponibili alle pp. G192-G195.

Lezione 6 Applicazioni della similitudine

La lezione 6 è costituita da tre esercizi guida che presentano applicazioni dei criteri di similitudine dei triangoli a problemi della vita reale, come la misura di oggetti troppo grandi o lontani per poter essere misurati direttamente. (I tre esercizi guida sono peraltro simili a quesiti che compaiono nelle Prove Invalsi).
L'esercizio guida 1 illustra come ricavare l'altezza di un albero confrontando la lunghezza della sua ombra sul terreno con quella proiettata da un'asta corta di altezza nota; un esercizio da assegnare per applicare questo metodo è il numero 1 a pag. G166.
Nell'esercizio guida 2 si ritrova la situazione già incontrata nell'esercizio guida della lezione 5 e ispirata al teorema di Talete, questa volta applicata alla misura della larghezza di un lago; l'esercizio simile da assegnare ai ragazzi è il numero 6 a p. G166.
L'esercizio guida 3 infine, spiega come misurare l'altezza di una torre, nota la sua distanza da essa, rapportandola alla lunghezza della spanna della propria mano. Un esercizio da assegnare per applicare questo metodo è il numero 9 a p. G166.
Ulteriori esercizi di rinforzo sono disponibili alle pp. G196-G199.

Se lo si ritiene utile, a completamento di questa lezione applicativa si può proporre ai ragazzi di inventare un'applicazione di una delle tre tipologie a un altro caso della vita reale: ogni studente potrebbe scrivere il testo di un esercizio, illustrarlo e risolverlo, spiegando i passaggi come negli esercizi guida del libro. La foto dell'elaborato di ciascuno potrebbe poi essere postata su una chat di classe per essere sottoposta alla valutazione dell'insegnante e dei compagni.

Lezione 7 I teoremi di Euclide

La lezione 7 è sui due teoremi di Euclide: può iniziare con l'attività Esplora Nel triangolo rettangolo, che fornisce gli "ingredienti" per la comprensione dei due teoremi.
Per aiutare i ragazzi a trarre gli spunti giusti da questa attività si possono rivolgere loro, su una chat di classe, le seguenti domande:

1. Quali e quanti sono i triangoli simili che vedi nella figura dell'Esplora?
[I triangoli simili sono tre: il triangolo grande ABC e ognuna delle sue parti ACH e CBH]
2. Quali sono i lati corrispondenti tra i due triangoli simili ABC e ACH? Come fai a riconoscerli?
[I lati opposti ad angoli congruenti sono lati corrispondenti. AB e AC, CH e CB, AH e AC]
3. Quali sono i lati corrispondenti tra i due triangoli simili ACH e CBH?
[AC e CB, CH e HB, AH e CH].

Per proseguire si può anticipare ai ragazzi che i due teoremi di Euclide non sono altro che l'applicazione della proprietà dei lati di due triangoli simili, quella per cui i rapporti tra coppie di lati corrispondenti sono uguali o, che è lo stesso, coppie di lati corrispondenti sono in proporzione. Basta quindi individuare i lati corrispondenti e uguagliare i rapporti.
Si potrebbe realizzare una slide per il primo teorema di Euclide e una per il secondo teorema di Euclide, con un commento audio di accompagnamento che riprenda i concetti anticipati nelle domande di avvio.

I due esercizi guida aiutano a capire come applicare i teoremi di Euclide alla risoluzione dei problemi.
Per far esercitare i ragazzi si possono assegnare gli esercizi propedeutici 1-8 della lezione e poi gli esercizi 9-12, che ricalcano la struttura degli esercizi guida. Gli esercizi 13-16 richiedono qualche passaggio e qualche ragionamento in più.

Ulteriori esercizi di rinforzo sono disponibili alle pp. G200-G204.

Lezione 8 Relazione fra i perimetri e fra le aree di figure simili

In questa lezione si deduce la proprietà generale che riguarda i perimetri e le aree di figure simili dall'analisi di due casi particolari, analizzati in due attività Esplora. Si può quindi introdurre la lezione assegnando le due attività di Esplora, Rettangolo doppio e Rettangolo triplo.

Una volta svolte le due attività, i ragazzi dovrebbero essere in grado di dedurre la regola generale rispondendo alle seguenti domande:

1. Dati due rettangoli simili, di cui uno ha i lati che misurano ognuno 5 volte quelli del primo, quanto misura il perimetro del secondo rettangolo rispetto al primo? Quanto misura la sua area rispetto a quella del primo?
[Il perimetro è cinque volte quello del primo rettangolo; l'area è 25 volte l'area del primo rettangolo]
2. Dati due rettangoli simili, di cui uno ha i lati che misurano ognuno k volte quelli del primo, quanto misura il perimetro P del secondo rettangolo rispetto a perimetro p del primo? Quanto misura la sua area A rispetto all'area a del primo?
[Il perimetro è k volte quello del primo rettangolo; l'area è k2 volte l'area del primo rettangolo]

I ragazzi potrebbero rispondere alle domande sulla chat di classe. Dalle risposte corrette si potrebbe ricavare la formalizzazione della regola generale.

Per consolidare la comprensione dei concetti si può assegnare l'esercizio guida 1 Trapezi, disponibile anche in formato VideoTutorial; l'esercizio 4 a pag. G174 consente di applicare lo stesso procedimento in un altro contesto. Negli esercizi 1 e 2 si ritrovano gli stessi procedimenti visti nella lezione, applicati ad altri casi geometrici.
Utile assegnare anche esercizi ambientati nel mondo reale, che permettono di cogliere il concetto geometrico in situazioni sperimentate nella quotidianità: si possono per questo sottoporre ai ragazzi gli esercizi 8-12-14-15.
Ulteriori esercizi di rinforzo sono disponibili alle pp. G204-G206.

A conclusione dello studio dell'intera unità G10 sulla similitudine si può proporre l’attività di approfondimento in modalità di classe capovolta Non solo simili: autosimili!, presentata nella Guida docente, che introduce al meraviglioso mondo della geometria frattale, dominato dal concetto di similitudine.

Per l’esercitazione e la verifica in autonomia

Al termine di ciascuna lezione o di un gruppo di lezioni si possono orientare gli studenti all’utilizzo di una serie di strumenti multimediali, assegnabili di volta in volta al momento opportuno e accessibili dall’ITE (libro digitale).
Per l’esercitazione degli studenti è possibile assegnare i Test interattivi della sezione Allenamento Invalsi.

Per la verifica si può assegnare il Test interattivo di fine unità.

È possibile anche organizzare un percorso più sintetico e facilitato riferendosi ai contenuti del fascicolo Imparafacile (con l’audio di tutte le lezioni). È disponibile la trascrizione in 6 lingue.

La verifica semplificata ad alta leggibilità è disponibile nella Guida docente.

E inoltre in My Pearson Place…

Invitiamo a esplorare tutti i materiali associati all’opera in adozione dalla pagina di ingresso al prodotto in My Pearson Place.

Da qui è possibile accedere, in particolare:
• all’intera Guida per il docente in formato PDF;
• a un ricco Crea Verifiche, con il quale comporre verifiche personalizzate, selezionando gli esercizi per argomento e per livello di difficoltà, ed esportando i file in formato .docx;
• al Didastore, dove, ad esempio, nell’Area docente sono disponibili le stesse verifiche fornite in Guida in formato editabile (docx) e nella sezione Palestra sono disponibili ulteriori batterie di test, tutti con autocorrezione.

La lezione è offerta dalla redazione di Pearson per le Scienze, il nuovo marchio editoriale per l'area scientifica della Scuola secondaria, nell'ambito del progetto Pearson Kilometro Zero, imparare e formarsi a distanza.

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