Operazioni e problemi con le frazioni

Percorso collegato all’unità A8 del volume ETABETA La matematica per tutti, di Gianfranco Bo.

ETABETA. Aritmetica 1° anno

Proponiamo un esempio di percorso didattico relativo al capitolo A8 Operazioni e problemi con le frazioni mediante il quale è possibile organizzare la didattica a distanza.
Il testo di riferimento è disponibile per gli studenti sia sotto forma di libro digitale statico (READER+), sia sotto forma di libro liquido e costituisce una solida base dalla quale partire per condividere sia le pagine da studiare, sia le risorse digitali correlate.
Per semplificare il lavoro, i link qui forniti consentono l’attivazione diretta di tutti i materiali, che sono reperibili anche accedendo a My Pearson Place con il codice associato al volume.

Per cominciare: preparare i materiali

Da questo link è possibile scaricare il PDF delle lezioni che presentiamo. A partire dal pdf, si possono catturare singole parti per inserirle in una presentazione in PPT.
Ricordiamo che è possibile registrare la propria voce sulle slide in PPT (scarica il PDF per vedere come fare) ed esportare un video da condividere con gli studenti nella modalità concordata con la scuola per erogare le lezioni a distanza.

Consigliamo di prevedere dei momenti di “lezione frontale” in formato video (in diretta o registrati), intervallati da momenti esercitativi o di confronto, come proposto di seguito per le lezioni considerate

Unità A8 Operazioni e problemi con le frazioni

Introduzione all’Unità

L'attività proposta nella prima pagina dell’unità introduce le operazioni tra frazioni con un quesito tratto dalla vita quotidiana: in preparazione alla lezione si può registrare e condividere con gli studenti un breve audio in cui si chiede loro di leggere le istruzioni e riflettere sull'attività. All'inizio della lezione successiva, l'insegnante può chiedere a qualcuno dei ragazzi se è riuscito a svolgere l'attività e quale metodo ha seguito, e valorizzare i contributi utili al prosieguo della lezione. Si potrà poi tornare sul metodo formale da applicare in occasione della lezione sulla divisione, o al termine dell'unità.

Lezione 1 L'addizione e la sottrazione di frazioni

La lezione inizia con il caso più semplice, che è quello delle frazioni con uguale denominatore. Il procedimento è intuitivo: mostrato con un esempio (2/7+3/7) e formalizzato dal Concetto chiave.
Più impegnativo è familiarizzare con il procedimento di addizione e sottrazione di frazioni con denominatore diversi, sarebbe quindi utile dedicarvi una videolezione sincrona. Si potrebbe chiedere a due o tre studenti di ricordare ai compagni come si riducono due frazioni allo stesso denominatore (secondo quanto visto nella lezione 7 dell'unità A7) svolgendo la riduzione delle due frazioni 5/6 e 1/4. Una volta ottenuta la conversione 5/6=10/12 e 1/4=3/12 , si può passare all'addizione 5/6+1/4=10/12+3/12=(10+3)/12=13/12.
Il procedimento è formalizzato nel Concetto chiave.

Per sostenere lo studio autonomo degli studenti si può suggerire di visualizzare il VideoTutorial dell’esercizio guida 3. Si suggerisce, a proposito della riduzione, di sottolineare qual è il momento in cui si può semplificare, per evitare il tipico errore in cui gli studenti spesso incorrono, di semplificare un termine di un'addizione al numeratore con l'intero denominatore.
Per consolidare l’apprendimento si possono assegnare gli esercizi 1-4, che riproducono casi simili a quelli visti nell'esercizio guida; per potenziare la padronanza lavorando su casi diversi o più complessi, gli esercizi 8-12. L’esercizio 14 Sfida si presta ad aprire un gruppo di discussione su una chat di classe, per confrontare le strategie di calcolo a mente messe a punto dai ragazzi.
Per rinforzare i concetti, sono disponibili esercizi ulteriori alle pp. A398-A403.

Lezione 2 La moltiplicazione di frazioni

La lezione sulla moltiplicazione può iniziare con l'analisi passo passo dell'Esercizio guida 1, che presenta un problema da risolvere con una moltiplicazione tra frazioni. La spiegazione, proposta in diretta nel corso di una videolezione oppure registrata in un audio da combinare con le slide, può porre l'accento sul fatto che la moltiplicazione permette di arrivare immediatamente allo stesso risultato ottenuto graficamente sul modello a striscia.
Nella moltiplicazione le possibilità di semplificare sono molteplici: nell'Esempio proposto sono mostrate le tre possibilità: in verticale, in diagonale e in croce, applicate poi nel VideoTutorial dell’esercizio guida 3, che si può assegnare per il ripasso autonomo dello studente.
Per mettere alla prova l'acquisizione da parte dei ragazzi dei metodi di semplificazione si può lanciare la sfida A mente dell'esercizio 13 a p. A377: il calcolo proposto sembra lungo e insidioso, ma è una catena di semplificazioni che consente di arrivare subito al risultato; il primo studente che fornisce il risultato vince!

Per far esercitare i ragazzi a casa si possono assegnare gli esercizi 1-2, che ricreano le condizioni già viste nell'esercizio guida, e gli esercizi 3 e 8, che propongono un calcolo e un problema concettualmente simili a quello dell'esercizio di apertura della lezione. Per allenarsi nel calcolo si possono assegnare gli esercizi 4-7, mentre per esercizi un po' più stimolanti gli esercizi 9-12.
Ulteriori esercizi si trovano in fondo all'unità, alle pp. A403-A407.

Lezione 3 La divisione di frazioni

Per la lezione sulla divisione si può partire con l'attività di Esplora, che consente di costruire il concetto chiave della divisione di frazioni a partire da ciò che gli studenti già conoscono, cioè la divisione tra numeri interi. Si può registrare un breve audio o scrivere la consegna su una chat di classe chiedendo di svolgere l'attività, fotografare la pagina del libro compilata e postarla su una chat di classe.

Nella prima lezione utile si potrà sondare tra i ragazzi la comprensione di quanto svolto nell'attività e proseguire con la procedura di calcolo: si introduce prima il concetto di inversa di una frazione e poi il procedimento di divisione tra due frazioni.

L'esercizio guida 2 che applica quanto esposto nel concetto chiave, si può visualizzare in formato VideoTutorial.

Chiude la lezione una variante della divisione che incute sempre timore negli studenti: la frazione di frazione. Basta ricordare che la frazione è di per sé una divisione, quindi si può "smontare" riscrivendola sotto forma di divisione. L'esercizio guida 3 mostra come fare anche nei casi "misti": intero fratto frazione, frazione fratto intero.

A questo punto i ragazzi hanno gli strumenti utili per tornare al gioco di apertura dell'unità: registrando un breve audio o scrivendo la consegna su una chat di classe si può chiedere ai ragazzi di risolvere il problema dei bicchieri con delle operazioni tra frazioni. Gli studenti possono svolgerlo sul quaderno, poi fotografarlo e postare i propri elaborati su una chat di classe. Per aiutarsi, potranno farsi guidare dalle seguenti domande:

1. Quanti bicchieri piccoli ci vogliono per riempire un bicchiere grande?
[1 : 1/3 = 3 ]
2. Quanti bicchieri grandi ci vogliono per riempire la brocca?
[1 : 1/5 = 5]
3. Quanti bicchieri piccoli ci vogliono per riempire la brocca?
[3 × 5 = 15]

Per il lavoro di consolidamento a casa si possono assegnare gli esercizi simili a quelli visti a lezione e cioè gli esercizi 1, 4 e 9; per consolidare le procedure gli esercizi da 6 a 9, per cimentarsi in contesti complessi gli esercizi da 10 a 15. Ulteriori esercizi sulla divisione sono disponibili alle pp. A407-A411.

Lezione 4 La potenza di una frazione

Prima della lezione sulle potenze può essere utile chiedere agli studenti di ripassare la definizione e le proprietà delle potenze per i numeri interi, viste nelle Unità A3 e A5, che sono del tutto simili a quelle valide per le frazioni. All'inizio di una lezione sincrona, l'insegnante può chiedere a due o tre studenti di ricordarle ai compagni e poi passare alla definizione valida per le frazioni, sintetizzata nel Concetto chiave.

Forti del recente ripasso, i ragazzi, interpellati a turno, potrebbero essere in grado a questo punto di formulare loro stessi le proprietà delle potenze valide per le frazioni, e di applicarle a frazioni scelte da loro.
Per il lavoro a casa si possono assegnare gli esercizi 1-4 a p. A384 per consolidare le conoscenze, gli esercizi 5-8 per farli allenare, infine gli esercizi della sezione Ragionare per rilevare le differenze tra potenze di numeri interi e potenze di frazioni.
Ulteriori esercizi sulle potenze di frazioni si trovano alle pp. A411-A414.

Lezione 5 Le espressioni contenenti frazioni

Anche le regole per la semplificazione di espressioni con le frazioni sono del tutto analoghe a quelle con i numeri interi. Vale quindi la pena di ricordare l'ordine di precedenza delle operazioni, riportato nel Concetto chiave, e poi di applicarlo subito analizzando gli svolgimenti degli esercizi guida.
Molto utili, per questo argomento prettamente procedurale, i VideoTutorial dell’esercizio guida 3 
e dell’esercizio guida 4 che si possono attivare durante una videolezione e, soprattutto, raccomandare per lo studio a casa.

Per far esercitare i ragazzi a casa, gli esercizi 2-4 propongono microespressioni con operazioni specifiche; gli esercizi 5-14 propongono espressioni un po' più lunghe; gli esercizi 15-19 sono problemi che richiedono la traduzione del linguaggio naturale in espressione matematica.
Ulteriori esercizi si trovano alle pp. A415-A423.

Se lo si ritiene utile, a completamento delle lezioni sulle espressioni si può proporre l'attività di classe capovolta “Sommare note o suonare frazioni?”, illustrata alle pagine 76-77 della Guida docente. L'attività propone di trasformare una partitura musicale in un’espressione aritmetica, coinvolgendo la capacità di eseguire addizioni, moltiplicazioni e confronti tra frazioni. Per avere un riscontro dell'attività svolta a casa si può chiedere ai ragazzi di scrivere sul quaderno la sequenza delle note di ogni espressione richiesta e poi di registrare un audio dell'esecuzione che si ottiene picchiettando con la matita sul tavolo (o, più musicalmente, con un flauto o un pianoforte!)

Lezione 6 Problemi fondamentali sulle frazioni

Questa prima lezione sui principali tipi di problemi con le frazioni si può affrontare assegnando a casa in modalità di didattica capovolta l'Esplora Listello, che guida i ragazzi passo passo nella risoluzione di un semplice problema fondamentale. Registrando un breve audio o scrivendo la consegna su una chat di classe, si può chiedere agli studenti di provare a completare l'attività sul libro, di fotografare la pagina e postarla sulla chat. La disamina dei materiali inviati dagli studenti fornirà all'insegnante spunti per riprendere i concetti e orientare la spiegazione alla prima lezione sincrona utile.
Il problema fondamentale inverso, oggetto dell'Esercizio guida Cioccolatini, merita di essere spiegato passo passo, in una videolezione sincrona o registrata: la modellizzazione analoga a quella del problema diretto permette ai ragazzi di comprendere le differenze nella struttura del problema, formalizzata poi nel Concetto chiave. Utile soffermarsi sulla differenza tra problema diretto e problema inverso, fornendo agli studenti dei criteri chiari per distinguerli.

L'esercizio guida 2 insiste sul riconoscimento dei due tipi di problemi: disponibile in formato VideoTutorial, può essere attivato durante la videolezione e può essere utile ai ragazzi a casa, nel loro studio autonomo.

Si può inoltre proporre l’attività di didattica capovolta “Il metodo Singapore per risolvere problemi con le frazioni”, illustrata alle pagine 78-79 della Guida per il docente. L'attività riprende l’uso dei modelli a strisce (o a barre), già impiegati nel testo, per arrivare in modo intuitivo alla risoluzione di un problema con le frazioni, in linea con il ben noto approccio del metodo di Singapore.

Per lo studio a casa, può essere utile far esercitare i ragazzi con l'esercizio 1 Dal totale alla frazione per prendere la mano con i calcoli sul problema diretto, e con il corrispondente esercizio 6 Dalla frazione al totale per il problema inverso. L'esercizio 3 propone un problema analogo all'esercizio guida 1, mentre gli esercizi da 7 a 12 permettono di impratichirsi nel riconoscimento dei due tipi di problemi. Per esercizi un po' più complessi si segnalano gli esercizi 14 e 17, poi la sezione di esercizi aggiuntivi disponibili alle pp. A424-A426.

Lezione 7 Altri problemi sulle frazioni

Questa lezione comprende tipologie di problemi diversi, più complessi, per i quali non c'è un'unica strategia di risoluzione, ma la sola raccomandazione a leggere bene il testo del problema e, quando possibile, a ricorrere a una modellizzazione.
L'esercizio guida 1 presenta un problema che si risolve con un’addizione di frazioni con denominatori diversi; si suggerisce di analizzarlo in una lezione sincrona, poi di assegnare l'analogo esercizio 1 a casa. Per quanto riguarda il resto, si potrebbero suddividere i 7 problemi rimanenti della lezione tra altrettanti gruppetti di studenti, ognuno dei quali incaricato di svolgere a casa un problema. Ogni gruppetto dovrebbe poi spiegare ai compagni la propria strategia risolutiva in una videolezione successiva, oppure mettere a disposizione sulla chat di classe il proprio svolgimento scritto, completo di istruzioni e spiegazioni, come in un esercizio guida del libro.
Gli ulteriori problemi su cui far esercitare i ragazzi si trovano alle pp. A427-A430.

Per l’esercitazione e la verifica in autonomia

Al termine della lezione o di un gruppo di lezioni si possono orientare gli studenti all’utilizzo di una serie di strumenti multimediali, assegnabili di volta in volta al momento opportuno e accessibili dall’ITE (libro digitale).

Per l’esercitazione degli studenti è possibile assegnare i Test interattivi della sezione Allenamento Invalsi.

Per la verifica si può assegnare il Test interattivo di fine unità.

È possibile anche organizzare un percorso più sintetico e facilitato riferendosi ai contenuti del fascicolo Imparafacile (con l’audio di tutte le lezioni). È disponibile la trascrizione in 6 lingue.

Le verifiche semplificate ad alta leggibilità sono disponibili nella Guida docente.

E inoltre in My Pearson Place…

Invitiamo a esplorare tutti i materiali associati all’opera in adozione dalla pagina di ingresso al prodotto in My Pearson Place.

Da qui è possibile accedere, in particolare:
• all’intera Guida per il docente in formato PDF;
• a un ricco Crea Verifiche, con il quale comporre verifiche personalizzate, selezionando gli esercizi per argomento e per livello di difficoltà, ed esportando i file in formato .docx;
• al Didastore dove, ad esempio, nell’Area docente sono disponibili le stesse verifiche fornite in Guida in formato editabile (docx) e nella sezione Palestra sono disponibili ulteriori batterie di test, tutti con autocorrezione.

La lezione è offerta dalla redazione di Pearson per le Scienze, il nuovo marchio editoriale per l'area scientifica della Scuola secondaria, nell'ambito del progetto Pearson Kilometro Zero, imparare e formarsi a distanza.

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