Com’è difficile formulare bene una domanda di matematica
Attenzione a possibili ambiguità e sottintesi del testo
MATH RESULT - BLOG
Problema ben conosciuto dagli insegnanti è la difficoltà nel formulare domande di matematica che non risultino ambigue. Per evitare sottintesi e fraintendimenti, dovuti alle interferenze di significato tra linguaggio naturale e linguaggio specifico, occorre utilizzare un linguaggio rigoroso. In classe e nelle sedi in cui si elaborano test destinati a vaste platee di studenti…
di Giorgio Bolondi
Scrivere bene una domanda di matematica è molto difficile: l’intreccio tra linguaggio naturale e linguaggio specifico è molto intricato, con interferenze di significati e di contesti d’uso. Bisogna prestare grande attenzione ovviamente alla chiarezza di formulazione, al registro linguistico utilizzato, ma soprattutto alla non ambiguità del testo e della richiesta. Molto spesso accade che il testo permette risposte diverse da quelle che ha in mente chi lo propone. Questo è un problema ben conosciuto da tutti gli insegnanti. Nella propria classe, però, si può rispondere a dubbi degli studenti, aggiungere (o togliere) parole, commentare e spiegare una consegna. Molto diverso e impegnativo è il lavoro per chi deve produrre domande che vanno, magari dopo tempo, a vaste platee di studenti, provenienti da scuole e città diverse.
Due esempi dal test di Medicina…
Vi propongo alcune riflessioni su due domande presenti nel test di ammissione a Medicina, svoltosi nei giorni scorsi, che presentano delle criticità e per cui la risposta corretta non è quella fornita dal MIUR.
La prima domanda è questa:
11. Quale delle seguenti regole di sostituzione è/sono corretta/e:
1) tutti gli X sono Y si può sostituire con qualche Y è X
2) nessun X è Y si può sostituire con nessun X è Y
3) qualche X è Y si può sostituire con tutti gli Y sono X
A) la prima e la seconda
B) la prima e la terza
C) tutte
D) nessuna
E) solo la seconda
La risposta indicata come corretta è la A. Che l’affermazione nessun X è Y si possa sostituire con nessun Y è X è abbastanza evidente: traducendo nel linguaggio naif degli insiemi, entrambe le affermazioni si esprimono dicendo che l’insieme degli X e l’insieme degli Y sono disgiunti. Quello che non è vero è che l’affermazione tutti gli X sono Y si può sostituire con qualche Y è X. Questo è vero solo se qualche X esiste effettivamente (o, per dirla con gli insiemi, se l’insieme degli X è non vuoto).
Un logico classico avrebbe usato questo esempio, parlando di ippogrifi (X), cioè di cavalli (Y) con le ali:
Tutti gli ippogrifi sono cavalli è indubbiamente una affermazione vera, vista la definizione. Ma Qualche cavallo è un ippogrifo è una affermazione falsa.
Conclusione: la risposta corretta al quesito proposto nel test di Medicina, con questa formulazione, non è la A, ma la E. Nella formulazione era stata dimenticata (o sottintesa) una importante condizione.
Si può aggiungere anche un’altra considerazione. Cosa vuol dire “regola di sostituzione”? In logica, questa categoria non esiste, il significato nel linguaggio naturale suggerisce però che l’espressione possa intendersi come “le due affermazioni sono logicamente equivalenti”. Ma neppure nel caso in cui X sia diverso dal vuoto si può affermare che tutti gli X sono Y è logicamente equivalente a qualche Y è X: al massimo, si può affermare che se l’affermazione tutti gli X sono Y è vera (con X non vuoto) allora è vera anche qualche Y è X, ma non il viceversa. Infatti l’affermazione qualche numero dispari (Y) è un quadrato perfetto (X) è vera, ma tutti i quadrati perfetti (X) sono numeri dispari (Y) è falsa.
Disquisizioni sottili, si potrebbe dire. Ruotano attorno a una condizione essenziale, che sarebbe meglio non dare per sottintesa. Come esplicitiamo cosa è sottinteso in un testo? Con un lavoro di ermeneutica, si potrebbe dire, che passa attraverso una interpretazione anche del contesto. Il fatto comunque è che con problemi di interpretazione del testo ci confrontiamo in classe quotidianamente, e anzi uno degli obiettivi dell’insegnamento della matematica (forse più importante che non i giochini di insiemistica, o rispetto al quale i giochini di insiemistica dovrebbero essere funzionali) dovrebbe proprio essere la capacità di utilizzare con rigore il linguaggio.
La seconda domanda è questa.
6. Per la festa di Michele, Nicolò ha acquistato 50 dolci fra pain au chocolat, croissant, pain au raisin e madeleine. 36 non sono croissant, 39 non sono madeleine e i pain a chocolat sono uno in più dei pain au raisin. Quanti sono i pain au chocolat?
A) 13
b) 14
C) 11
D) 12
E) 15
La risposta indicata come corretta è la A, e penso che presupponesse una risposta completa così composta: 13 sono i pain au chocolat, 12 i pain au raisin, 14 i croissant e 11 le madeleine, basata su una argomentazione del tipo: 36 [dolci] non sono croissant quindi i croissant sono 14; analogamente si può dedurre che le madeleine sono 11, quindi pain au chocolat e pain au raisin in tutto sono 25, quindi i pain au chocolat sono 13 e i pain au raisin sono 12.
Ma è proprio vero che la formulazione del quesito autorizza questa argomentazione? A ben vedere, l’affermazione 36 [dolci] non sono croissant NON implica che i croissant sono ESATTAMENTE 50-36=14. L’affermazione implica che i croissant sono AL MASSIMO 14. In altri termini, 36 non sono croissant NON è equivalente a I non-croissant sono 36; afferma che ci sono 36 dolci che non sono croissant, e non afferma nulla sugli altri 14 (né che sono croissant, né che non lo sono). Analogamente per le madeleine. In sintesi, le due affermazioni 36 [dolci] non sono croissant e I dolci che non sono croissant sono 36 sono molto simili nel linguaggio naturale, ma hanno sfumature logiche diverse.
Questa situazione è molto frequente in matematica: quando diamo la definizione Un triangolo isoscele è un triangolo che ha due lati uguali, non affermiamo nulla sul terzo, né che sia uguale agli altri due, né che sia diverso; non stiamo dicendo che ha esattamente due lati uguali, stiamo soltanto affermando qualcosa su due dei tre lati. In base alla definizione, accettiamo nelle nostre classi (anzi lo “pretendiamo”) di considerare anche un triangolo equilatero nella categoria dei triangoli isosceli.
Con questa formulazione della domanda, anche la risposta B e la risposta E sono corrette. Per esempio, una soluzione del tipo
14 pain au chocolat, 13 pain au raisin, 13 croissant, 10 madeleine
soddisfa le condizioni della consegna: le affermazioni i pain au chocolat sono uno più dei pain au raisin, 36 [dolci] non sono croissant e 11 [dolci] non sono madeleine sono vere.
Analogamente per la soluzione
15 pain au chocolat, 14 pain au raisin, 12 croissant, 11 madeleine.
Il punto è cosa viene sottinteso: quando affermiamo 36 [dolci] non sono croissant stiamo sottintendendo la parola almeno, come nella definizione di triangolo isoscele, o la parola esattamente?
Nel primo caso, anche le risposte B ed E sono corrette.
Attenzione agli impliciti e ai non detti
La questione degli impliciti e dei non detti nel linguaggio naturale è delicatissima, lo sa bene chi come il sottoscritto lavora da anni alla formulazione delle domande INVALSI. È particolarmente delicata quando gli impliciti e i non detti coinvolgono parole che in qualche modo corrispondono a quelli che i matematici chiamano quantificatori, oppure a condizioni da imporre alla risposta. Tornando al caso dell’avverbio sottinteso (almeno o esattamente?), anche in questo caso è il contesto che può suggerire, nel parlare comune, come risolvere i dubbi.
Se voglio andare a prendere un aperitivo con un amico, e gli chiedo “Hai 10 euro?”, lui guarda nel portafoglio e vede una banconota da 50, probabilmente mi risponde Sì (abbiamo entrambi sottinteso almeno). Se gli chiedo “Hai 10 anni?” e ne ha 50, mi risponde No (abbiamo entrambi sottinteso esattamente).
Morale della storia: facciamo sempre MOLTA attenzione ai testi che proponiamo a chi deve rispondere alle nostre domande.
