Cominciamo bene l'anno. Proposta per un laboratorio
Alla scoperta dei nessi tra realtà e matematica
MATH RESULT - BLOG
La matematica è spesso considerata dagli studenti come una materia astratta e lontana dalla realtà. Per avviare bene l'anno vi suggeriamo di programmare qualche attività di "accoglienza" capace di coinvolgere e dare nuovo vigore ed entusiasmo alla classe. La proposta è un laboratorio dedicato alla costruzione di modelli matematici applicati a fenomeni reali.
di Maurizio Giaffredo
“Prof, a che cosa serve?”
Ogni docente di matematica si è sentito fare dozzine di volte questa domanda. Il quesito è diffuso nella nostra società più di quanto si immagina: anche chi opera nella divulgazione matematica (settore che in questo periodo assiste a una crescita della domanda di contenuti e al conseguente moltiplicarsi delle iniziative) raccoglie una sempre maggiore richiesta di esempi di applicazioni.
La matematica che tradizionalmente si studia a scuola insomma, non è una novità, è percepita in prima battuta come troppo astratta e distante dalla realtà. I ragazzi sono dunque sempre sorpresi di trovare dei punti di contatto forti tra quella matematica e la realtà e si scoprono desiderosi di approfondire questi legami. Assecondare anche solo parzialmente questo appetito tra i banchi di scuola non può che essere vantaggioso: si costruiscono infatti dei “ponti” che consentono di superare quella distanza dalla nostra disciplina, distanza altrimenti percepita come incolmabile. Anche alla luce della direzione intrapresa dalle ultime riforme scolastiche, è auspicabile che a scuola si curi questo tipo di “edilizia”.
Parlare del nesso tra realtà e matematica significa, senza troppi giri di parole, parlare della costruzione di modelli. In fin dei conti, i matematici sono veri e propri artigiani di modelli: che siano elucubrazioni squisitamente teoriche o che siano astrazioni della realtà, uno dei grandi e difficili lavori del matematico è la rappresentazione di oggetti (o di entità, o ancora di sistemi) nel linguaggio rigoroso che caratterizza la sua disciplina, ma con ricaduta pratica nella vita quotidiana e sociale che di quelle rappresentazioni si giova per governare i fenomeni - prevedere il flusso del traffico, o la propagazione di una tempesta, o la diffusione di un incendio. Inutile dire che per imparare un lavoro artigianale bisogna andare a bottega da un maestro. La scuola (la bottega) e i docenti (i “maestri”) sono i candidati perfetti per tramandare il “mestiere”, controllando che gli allievi non pratichino solo la tecnica, ma imparino anche l'Arte.
La modellistica matematica è arte
In questo senso, a ben pensarci, la modellistica matematica è proprio un'arte. Un'arte in cui ciascuno può avere il suo “stile”. È un mondo in cui esistono buone pratiche ma mai ricette preconfezionate e in cui, sulla base delle esigenze e dell'estro dell'“artista”, si possono costruire modelli diversi dello stesso oggetto, ciascuno dei quali catturerà necessariamente certi aspetti e ne trascurerà altri. Un modello di una scatola, per esempio, può essere fatto considerando diverse caratteristiche (la forma, lo spessore del materiale, le dimensioni…) e, a seconda di chi lo confeziona e dei problemi che deve affrontare, il modello risultante sarà diverso.
La scoperta di questa libertà di scelta del matematico/artista è una caratteristica che spesso spiazza chi è abituato a pensare alla nostra disciplina come caratterizzata da processi rigidi, predeterminati e immutabili. È un'esperienza che può giovare agli studenti, da un lato in termini di aumento della motivazione e dall'altro in termini di guadagno di nuove competenze. È uno degli aspetti in cui si può apprezzare la creatività matematica, che finisce poi per motivare la necessità di trattare anche le questioni solo teoriche e che può spingere a migliorare le capacità tecniche. Queste diventano infatti immediatamente strumentali alle applicazioni e in seguito hanno dunque una migliore chance di rimanere interessanti di per sé, evitando di essere vissute come imposizioni apparentemente senza motivo (o con motivo troppo “distante” dall'esperienza dello studente).
Come tutte le arti, anche l'Arte modellistica ha una sua estetica che vale la pena mettere in luce. Dal momento che i modelli utili non sono mai delle copie dell'oggetto che rappresentano (una copia sarebbe poco interessante, non ci aiuterebbe a capire di più... perché sarebbe uguale all'originale!), essi costituiscono delle semplificazioni degli oggetti in questione. Il tentativo di chi costruisce un modello è quindi solitamente di spingere al massimo questa semplificazione, senza però esagerare. C'è una massima attribuita a Einstein che dice: “Tutto dovrebbe essere reso il più semplice possibile, ma non più semplice”. L'estetica modellistica è un'estetica della semplicità e consente di apprezzare la differenza che intercorre tra un modello semplice e un modello banale. Inutile dire quanto istruttiva possa essere questa ricerca.
Esiste il modello giusto?
Il processo modellistico porta con sé altri risvolti di valore anche pedagogico. Di fronte a una varietà di possibili modelli, infatti, è naturale porsi la domanda “Quale è il modello giusto?”. Naturalmente, tutti i conoscitori dell'Arte sanno che tale modello non esiste in assoluto, e che il “giusto” dipende da ciò che ci si prefigge. Ma questa consapevolezza non arriva gratis, deve essere conquistata passando dallo studio di modelli già esistenti, dalla loro modifica e dal tentativo di costruzione di nuovi. Dire che non esiste il modello “giusto” è dire che sono tutti “sbagliati”. Questo chiaramente non significa che siano inutili! Esempi di modelli “sbagliati” ma che catturano caratteristiche chiave di ciò che rappresentano si trovano spesso nelle scienze: si pensi al modello corpuscolare e a quello ondulatorio della luce, che permettono di chiarirne diversi comportamenti e che presi singolarmente falliscono nella spiegazione di tutte le osservazioni. Il fatto che da una costruzione “sbagliata” si possa tirare fuori qualcosa di buono è un altra peculiarità dell'Arte, peculiarità che spesso viene irragionevolmente messa sotto il tappeto e che invece ha un alto valore educativo.
Un esempio di esperienza didattica: il modello simula il comportamento di un incendio
La domanda che spesso i docenti mi fanno, dopo un discorso di questo genere, è: “Come si fa?”. Ci sono esempi di esperienze didattiche di successo a tutti i livelli scolastici, chiaramente con scopi e livelli adattati agli alunni e alle loro competenze. Nella mia esperienza personale, la scuola secondaria di secondo grado è il segmento scolastico in cui è possibile presentare meglio tutti gli aspetti cruciali, compresa l'attività diretta di modellistica. Il tema si presta bene a progetti interdisciplinari, che possono coinvolgere soprattutto le scienze naturali e l'informatica.
Un esempio che ho utilizzato più volte nelle scuole per introdurre alcuni degli aspetti citati, prodotto in collaborazione con l'associazione Pigreco – il Luogo Ideale, consiste nell’implementazione al calcolatore di un cosiddetto “modello giocattolo” che rappresenta un incendio boschivo. Ho più volte utilizzato in classe questo modello per esemplificare il processo di astrazione che porta da un problema reale al suo modello matematico (e computazionale).
In questa pagina del sito Pigreco si trova una griglia, dove si immaginano posizionati gli alberi di un bosco: si possono modificare manualmente la posizione degli alberi, la loro densità e altri parametri. Si dà poi una regola con cui l'incendio si espande: per esempio, si può decidere che il fuoco si propaghi a tutte le caselle che contengono alberi e che si trovano intorno a un albero incendiato oppure che l'incendio si propaghi solo in alcune direzioni. Facendo partire la simulazione, si può osservare quanto l'incendio si espanda e quale percentuale di alberi coinvolga. Chiaramente, il comportamento varierà al variare dei parametri e della configurazione iniziale di alberi.
L'immediata visualizzazione resa possibile dalla simulazione facilita la comprensione della potenza della semplificazione operata nella costruzione del modello e consente di introdurre gli studenti alle caratteristiche fondamentali della modellistica.
